% ==========
% Apartado 1
% ==========
% Planteamiento generico
clear all
close all
x=pi*[-1,0,1];y=[1,0,1];
A=ones(3);
for i=2:3;A(:,i)=A(:,i-1).*x';end; % base B1
s1=A\y’

A(:,2)=sin(x');A(:,3)=cos(x');% base B2
s2=A\y'
det(A)
rank(A)
rref(A)

A(:,2)=sin(x');A(:,3)=sin(2*x');% base B3
s3=A\y'
det(A)
rank(A)
rref(A)
%
% Resolución Analítica
%
% * * * Ejemplo 1 * * *
f=inline('x.^4+2*x-1');n=10;a=-3;b=3;
x=linspace(a,b,n);y=f(x);
p=polyfit(x,y,length(x)-1)
X=linspace(a,b);Y=f(X);P=polyval(p,X);
plot(X,Y,X,P,x,y,'*');grid on;
legend('funcion','Interpolante','datos')
[mayor,lugar]=max(abs(Y-P));
disp(['error ',num2str(mayor),' en el punto ',num2str(X(lugar))])

% * * * Ejemplo 2 * * *
f=inline('x.*sin(x.^2)');
n=8;a=-pi;b=pi;
x=linspace(a,b,n);y=f(x);
p=polyfit(x,y,n-1)
X=linspace(a,b);Y=f(X); P=polyval(p,X);
plot(X,Y, X,P,x,y,'*');grid on;
legend('funcion','Interp', 'datos')
[mayor,lugar]=max(abs(Y-P));
disp(['error ',num2str(mayor),' en el punto ',num2str(X(lugar))])

% * * * EJERCICIO 1 * * *
f=inline('exp(-x.^2)');
n=9;a=-2;b=2;
x=linspace(a,b,n);y=f(x);
p=polyfit(x,y,n-1)
X=linspace(a,b,101);Y=f(X); P=polyval(p,X);
plot(X,Y, X,P,x,y,'*');grid on;
legend('funcion','Interp', 'datos')
[mayor,lugar]=max(abs(Y-P));
disp(['error ',num2str(mayor),' en el punto ',num2str(X(lugar))])
%
% ============
% Apartado 1.1
% ============
%
% Ejemplo 1: Representacion de los Polinomios de Lagrange
%
N=2;x=0:N;
n=length(x);p=zeros(n);
X=linspace(0,i);Y=zeros(n+1,length(X));
for i=1:n
    y=x;y(i)=[];y=poly(y);p(i,:)=y/polyval(y,x(i));
    Y(i,:)=polyval(p(i,:),X);
end
Y(n+1,:)=sum(Y(1:n,:));
plot(X,Y);grid on
legend('\itL_0 (x)','\itL_1 (x)','\itL_2 (x)','Suma','Location','B')

P=y*p
%
% * * * EJERCICIO 2 * * *
%
clear all
x=rand(4,1);
n=length(x);p=zeros(n);
X=linspace(0,i);Y=zeros(n+1,length(X));
for i=1:n
    q=x;y(i)=[];q=poly(q);p(i,:)=q/polyval(q,x(i));
    Y(i,:)=polyval(p(i,:),X);
end
Y(n+1,:)=sum(Y(1:n,:));
plot(X,Y);grid on
legend('\itL_0 (x)','\itL_1 (x)','\itL_2 (x)','\itL_3 (x)','Suma','Location','B')
%
% * * * EJERCICIO 3 * * *
%
clear all
f=inline('exp(-x.^2)');
n=5;a=-2;b=2;
x=linspace(a,b,n);y=f(x);
p1=polyfit(x,y,n-1)
p=zeros(n);
for i=1:n
    q=x;q(i)=[];q=poly(q);p(i,:)=q/polyval(q,x(i));
end
p2=y*p
%
% * * * EJERCICIO 4 * * *
% Ejemplo de runge con interpolacion equiespaciada
clear all
close all
f=inline('1./(1+x.^2)');
N=[5,9,17];TN=int2str(N');n=length(N);
X=linspace(-5,5);
Y=zeros(n+1,length(X));
Y(1,:)=f(X);
j=2;
for n=N
    x=linspace(-5,5,n);y=f(x);
    p=polyfit(x,y,length(x)-1);
    Y(j,:)=polyval(p,X);
    j=j+1;
end
figure(1);plot(X,Y)
legend('f(x)',TN(1,:),TN(2,:),TN(3,:))
%
% ============
% Apartado 1.2
% ============
%
% Interpolacion segmentaria
%
f=inline('x.*sin(x.^2)');
n=8;a=-pi;b=pi;
x=linspace(a,b,n);y=f(x);
X=linspace(a,b);Y=f(X);
P0=interp1(x,y,X,'linear');
P1=interp1(x,y,X,'spline');
plot(X,Y,X,P0,X,P1,x,y,'*');grid on;
legend('funcion','lineal','spline','datos')
[mayor,lugar]=max(abs(Y-P0));
disp(['error ',num2str(mayor),' en el punto ',num2str(X(lugar))])
[mayor,lugar]=max(abs(Y-P1));
disp(['error ',num2str(mayor),' en el punto ',num2str(X(lugar))])
%
% * * * EJERCICIO 5 * * *
%
% Ejemplo de Runge con splines
%
f=inline('1./(1+x.^2)');
N=[5,9,17];TN=int2str(N');n=length(N);
X=linspace(-5,5);
Y=zeros(n+1,length(X));
Y(1,:)=f(X);
j=2;
for n=N
    x=linspace(-5,5,n);y=f(x);
    Y(j,:)=spline(x,y,X);
    j=j+1;
end
figure(2);plot(X,Y)   
legend('f(x)',TN(1,:),TN(2,:),TN(3,:))
%
% ============
% Apartado 1.3
% ============
%
%
% Ejemplo de Runge con Tchebishev
%
f=inline('1./(1+x.^2)');
N=5;
z=cos((2*(1:N)-1)*pi/2/N);x=5*z;y=f(x);
p=polyfit(x,y,N-1);
X=linspace(-5,5);Y=f(X);P=polyval(p,X);
plot(X,Y,X,P,x,y,'*');grid on;
legend('funcion','interpolante','datos')
%
% * * * EJERCICIO 6 * * *
%
% Ejemplo de Runge con Tchebishev
%
f=inline('1./(1+x.^2)');
N=[5,9,17];TN=int2str(N');n=length(N);
X=linspace(-5,5);
Y=zeros(n+1,length(X));
Y(1,:)=f(X);
j=2;
for n=N
    z=cos((2*(1:n)-1)*pi/2/n);x=5*z;y=f(x);
    p=polyfit(x,y,length(x)-1);
    Y(j,:)=polyval(p,X);
    j=j+1;
end
figure(1);plot(X,Y)
legend('f(x)',TN(1,:),TN(2,:),TN(3,:))