Test de autoevaluación del tema 4

1) El dominio de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»log«/mi»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math» es :
a) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/math» ; b) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mfenced close="}" open="{"»«mrow»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math» ; c) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="}" open="{"»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8712;«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»e«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» ; d) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="}" open="{"»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8712;«/mo»«msup»«mi»R«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»/«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»ó«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§gt;«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math»

2) El «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/munder»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«msup»«mi»xy«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»6«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»
a) Vale 0 ; b) No existe ; c) Vale 1 ; d) Vale 1/2


3) El «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/munder»«mo»§nbsp;«/mo»«mfrac»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math»
a) Vale 0 ; b) no existe ; c) Vale 1 ; d) Vale 2


4) Si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» es una función de dos variables ta que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»§#8594;«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/munder»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»m«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«mi»m«/mi»«/math» entonces

a) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8708;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/munder»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» ; b) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8708;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/munder»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» ; c) si existe«math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/munder»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» vale «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«/math» ; d) si existe «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»1«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/munder»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«/math» vale «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»m«/mi»«/math»


5) ¿En cuál de los siguientes casos se puede deducir que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/mrow»«/munder»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»5«/mn»«/math»?

a) Todos los límites direccionales en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» a través de rectas existen y valen 5 ; b) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="|" open="|"»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»rcos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»rsen«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#10877;«/mo»«msup»«mi»r«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo».«/mo»«mfenced close="|" open="|"»«mrow»«mi»sen«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math» ; c) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced close="|" open="|"»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mrow»«mi»rcos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mi»rsen«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«mo»-«/mo»«mn»5«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»§#10877;«/mo»«mo»(«/mo»«mi»r«/mi»«mo»+«/mo»«mn»5«/mn»«mo»)«/mo»«mo».«/mo»«mfenced close="|" open="|"»«mrow»«mi»cos«/mi»«mo»(«/mo»«mi»§#945;«/mi»«mo»)«/mo»«/mrow»«/mfenced»«/math»


6) Supongamos que «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«mi»mx«/mi»«/mrow»«/munder»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»=«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»l«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»R«/mi»«/math». Entonces :

a) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«/math»es continua en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» ; b) el límite doble de «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» vale l ; c) si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«/math» es continua en «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mfenced»«mrow»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«/mrow»«/mfenced»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8658;«/mo»«/math» «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»l«/mi»«/math» ; d) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«munder»«mi»lim«/mi»«mrow»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8594;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/munder»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mi»l«/mi»«/math»

7) Sea «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math» si «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»§#8800;«/mo»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math» , «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»1«/mn»«/math». Entonces:
a) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»f«/mi»«mi»x«/mi»«/msub»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«msub»«mi»f«/mi»«mi»y«/mi»«/msub»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» ; b) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«msub»«mi»f«/mi»«mi»x«/mi»«/msub»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8708;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»f«/mi»«mi»y«/mi»«/msub»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math» ; c) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8708;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»f«/mi»«mi»x«/mi»«/msub»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»f«/mi»«mi»y«/mi»«/msub»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mn»0«/mn»«/math» ; d) «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»§#8708;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»f«/mi»«mi»x«/mi»«/msub»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»y«/mi»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8708;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msub»«mi»f«/mi»«mi»y«/mi»«/msub»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»0«/mn»«mo»)«/mo»«/math»

8) La derivada parcial de la función «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mi»f«/mi»«mo»(«/mo»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mi»y«/mi»«mo»)«/mo»«mo»=«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»y«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«/math» respecto a la variable y en el punto «math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"»«mo»(«/mo»«mn»0«/mn»«mo»,«/mo»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«/math» es:
a) 0 ; b) 1 ; c) -1 ; d) 2

Last modified: Thursday, 2 May 2013, 3:46 AM