Programa

1. INTRODUCCIÓN

1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.2. TOPOLOGÍA EN R

1.3. DEFINICIONES PREVIAS

2. CÁLCULO DIFERENCIAL EN UNA VARIABLE

2.1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

2.2. SUCESIONES NUMÉRICAS

2.3  SERIES NUMÉRICAS

2.4. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Definiciones. Propiedades de las funciones continuas.

2.5. DERIVADA Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN

Definiciones. Técnicas de Derivación. Derivadas sucesivas. Aproximación de funciones mediante Polinomios de Taylor. Condición necesaria de Extremo Relativo. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio de Lagrange. Regla de l’Hôpital. Crecimiento y Decrecimiento de una función. Condiciones suficientes de Extremo Relativo.  Extremos Absolutos. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.  Optimización en Ingeniería.

2.6. SERIES DE POTENCIAS

Desarrollo de una función en serie de potencias.

3. CÁLCULO INTEGRAL EN UNA VARIABLE

3.1. INTEGRAL INDEFINIDA

Definiciones. Integrales inmediatas. Técnicas generales de integración.

3.2. INTEGRALES DEFINIDAS

Definición de la integral de Riemann. Propiedades de la integral definida. Teorema del Valor Medio. Teoremas Fundamentales del Cálculo. Cálculo de integrales.

3.3. INTEGRALES IMPROPIAS

Integrales impropias de primera especie. Integrales impropias de segunda especie.

3.4. APLICACIONES GEOMÉTRICAS

Áreas planas. Longitud de un arco de curva. Áreas y Volúmenes de cuerpos de revolución.

4. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

4.1. EL ESPACIO Rⁿ

Definiciones

4.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD

Límite de una función z = f (x, y) en un punto. Continuidad de una función z = f (x, y) en un punto. Continuidad en un conjunto.

4.3. DERIVADA Y DIFERENCIAL

Derivadas parciales de una función z = f (x, y). Diferencial de una función z = f (x, y). Derivada direccional y Gradiente. Derivada de la función compuesta. Derivadas de orden superior.  Diferenciales de orden superior.

4.4. EXTREMOS

Máximos y Mínimos Relativos. Condiciones Suficientes para la existencia de un Extremo Relativo. Extremos Condicionados.

5. INTEGRALES MÚLTIPLES

5.1. INTEGRALES DOBLES

Integrales dobles sobre rectángulos. Interpretación de la integral doble como un volumen.  Propiedades de la integral doble. Integrales iteradas. Integrales dobles sobre regiones más generales. Inversión del orden de integración en una integral doble. Cambio de variables en integrales dobles. El cambio a coordenadas polares.

5.2. INTEGRALES TRIPLES

Integrales triples sobre paralelepípedos. Integrales triples sobre regiones más generales.  Cambio de variables en integrales triples.  Coordenadas cilíndricas. Coordenadas esféricas.

5.3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES

Volúmenes de cuerpos en el espacio. Áreas de figuras planas. Centro de masa y momentos de figuras planas. Centro de masa y momentos de cuerpos en el espacio.

6. INTEGRALES DE LÍNEA Y DE SUPERFICIE

6.1. CURVAS, SUPERFICIES, CAMPOS VECTORIALES

Parametrizaciones de curvas. Parametrizaciones de superficies. Campos vectoriales.

6.2. INTEGRALES DE LÍNEA Y DE SUPERFICIE. TEORÍA VECTORIAL DE CAMPOS

Integrales de línea de funciones escalares. Integrales de línea de funciones vectoriales.  Integrales de superficie de funciones escalares. Integrales de superficie de funciones vectoriales. Teorema de Green. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss. Campos conservativos.

6.3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES DE LÍNEA Y SUPERFICIE

Trabajo. Longitud de una Curva. Área de una Superficie. Masa y Centro de masa. Momentos de inercia.

7. ECUACIONES DIFERENCIALES

7.1. CONCEPTOS GENERALES

Introducción. Ecuaciones de variables separadas o separables. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones diferenciales exactas. Ecuaciones lineales.

7.3. APLICACIONES DE LAS E.D.O. DE PRIMER ORDEN

Crecimiento de población y similares.  Caída de cuerpos y otros problemas de movimiento.

7.4. E.D.O. DE ORDEN SUPERIOR

Introducción . Ecuaciones lineales. Ecuaciones lineales homogéneas. Ecuaciones lineales homogéneas de coeficientes constantes. Ecuaciones lineales no homogéneas.

Vibraciones. Circuitos Eléctricos.