• Análisis Numérico
  • Guía de aprendizaje
    • Mapa del sitio de César Menéndez

      GUIA DE APRENDIZAJE

      Esta guía se divide en tres partes: contenidos de la asignatura, introducción a las matemáticas en la ingeniería y orientaciones metodológicas de la misma.

      CONTENIDOS

      El programa de la asignatura se ha dividido en siete temas, que enunciamos a continuación:

      1. Matemática Finita y Análisis de errores
      2. Ecuaciones y sistemas no lineales
      3. Optimización
      4. Interpolación y ajuste de curvas
      5. Diferenciación e integración numérica
      6. Ecuaciones diferenciales y autovalores
      7. Ecuaciones en derivadas parciales

      Hacemos seguidamente una breve síntesis del contenido de cada tema (se muestra ampliado en el programa de la asignatura y detallado en los objetivos de cada lección concreta). Aunque el número de créditos de la asignatura no es escaso, si resulta insuficiente para abordar un programa tan amplio, por lo que será necesario centrarse en los conceptos fundamentales de cada tema, emprendiendo el estudio de los métodos básicos y mostrando, sin entrar en detalles, el resto. Puesto que uno de los objetivos de la asignatura es que los alumnos resuelvan diferentes tipologías de problemas mediante el ordenador, será necesario el uso de un lenguaje de programación, lo que servirá como pretexto para definir los lenguajes de programación y dar sus características y objetivos.

      En el tema I se da en primer lugar una panorámica general de los tipos de problemas que aborda el Análisis Numérico. Se define el concepto de algoritmo, sus diversos tipos y se analizan los métodos iterativos y velocidad de convergencia. Se dedica una lección al estudio de la representación de números en el ordenador, a las operaciones con números de máquina y a la propagación del error, consecuencia de tal representación, cuando se repite una operación elemental un determinado número de veces. Debe quedar claro que sin un análisis de los errores cometidos por el ordenador no se puede aseverar la validez de los resultados obtenidos, y por lo tanto dicho análisis es el punto de partida adecuado para nuestro estudio de los métodos numéricos. Se instruye pues al alumno en la teoría de errores y su vital importancia en el análisis de los resultados numéricos.

      En el tema II se estudian los métodos para resolver tanto ecuaciones algebraicas no lineales como sistemas de ecuaciones. Tras una clasificación de los métodos en cerrados y abiertos, se hacen unas consideraciones sobre la separación de raíces que permitan asegurar la unicidad de la solución. Dado que los métodos de ambas familias son iterativos, se atiende de forma destacada a la acotación del error cometido. En la resolución numérica de ecuaciones algebraicas y trascendentes tienen un papel fundamental los métodos iterativos abiertos, que deberán justificarse en función del teorema del punto fijo de Banach. A continuación se considera el caso particular de las ecuaciones polinómicas, estudiando con detalle el tema de la acotación y separación de raíces y los métodos particulares para este tipo de ecuaciones. Finalmente se generaliza el problema a la resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, que resultan ser una extensión natural de los vistos en el caso de una ecuación.En el tema II se hace, en primer lugar, un breve repaso de los principales resultados de álgebra y análisis matricial, los cuales serán necesarios para comprender el fundamento de los diversos métodos. Se introduce también el concepto de número de condición de una matriz, concepto imprescindible para abordar el problema de la sensibilidad de la solución de un sistema lineal de ecuaciones frente a perturbaciones de los datos y que permite acotar sus errores. Tras clasificar los métodos de resolución de sistemas en directos e iterativos, se abordan por separado distintos métodos de ambas familias, particularizando en algunos casos en que la matriz del sistema tiene características que permiten la simplificación del método general. En el caso de los métodos iterativos se presta especial atención a sus condiciones de convergencia.

      En el tema III se inicia con una panorámica general sobre la teoría de Optimización y se plantea un problema genérico. El estudio se centra en el caso de dimensión finita, detallando los tipos de problemas que aparecen en este contexto. Se analizan primero los métodos numéricos de Optimización sin restricciones en el caso de funciones de una variable, tanto en el caso diferenciable como en el caso no diferenciable. Seguidamente se considera el caso multidimensional en donde se hace hincapié en los métodos diferenciales que utilizan la derivada primera de la función, así como los que tienen en cuenta la derivada segunda y algunas variantes que intentan evitar los inconvenientes de tipo práctico que presentan tales métodos. Por último se muestran los métodos numéricos de búsqueda de extremos condicionados de funciones de varias variables.

      En el tema IV se plantea en primer lugar el problema general de la interpolación y se muestran diversos casos particulares de interpolación lineal y de interpolación no lineal. Se estudia la interpolación polinómica de funciones de una variable, tanto en el caso de que sean conocidos sólo los valores de la función (interpolación de Lagrange) como en el caso de que se conozcan también valores de la derivada (interpolación de Hermite). Con el fin de poder estudiar en su momento el método de elementos finitos para la resolución de ecuaciones en derivadas parciales, se estudia la interpolación polinómica a trozos de Lagrange y de Hermite en el caso de funciones de una y dos variables, así como la interpolación mediante funciones spline. Los métodos de interpolación que veremos en este tema, tendrán su primera ilustración al ser utilizados en los procesos de derivación e integración numérica. También en este tema se introduce la aproximación de funciones, definiendo el concepto de mejor aproximación, viendo cuándo existe la mejor aproximación, en qué casos es única y dando criterios, cuando sea posible, para determinarla. Ello nos permitirá contemplar la interpolación como un caso particular de aproximación polinómica. Se estudian a continuación casos particulares como son las aproximaciones por mínimos cuadrados y las aproximaciones minimax, tanto para el caso continuo y como para el discreto, y la aproximación uniforme de funciones continuas mediante polinomios.

      En el tema V se estudia en primer lugar la derivación numérica. Nos centramos en las fórmulas de tipo interpolatorio y obtenemos las fórmulas más usuales, centradas y no centradas, determinando en cada caso el error asociado. Se prosigue con el problema de la integración numérica y se introducen las fórmulas de Newton-Cotes simples y compuestas, estudiando en cada caso el error asociado. A continuación se muestra un método que permite acelerar la convergencia de las fórmulas de Newton-Cotes compuestas y se analizan las fórmulas de cuadratura de Gauss. También se estudian algunos métodos para tratar el caso de las integrales impropias. Por último, se considera el problema de la integración múltiple, ceñida al caso bidimensional, estudiando en primer lugar el caso de un dominio rectangular, para tratar a continuación el caso de un dominio cualquiera.

      En el tema VI se introducen los métodos numéricos para resolución de problemas de valor inicial, mediante la discretización de la función. Hablando en términos generales, la discretización conducirá a un problema algebraico que se deberá resolver numéricamente. El análisis de las cotas de error cobra, en estos casos, especial importancia. Se comienza el estudio con los métodos de un paso, como punto de partida para introducir los métodos de orden superior. A continuación se presentan los métodos de pasos múltiples explícitos, los métodos implícitos, así como las combinaciones de ellos, en la forma predictor corrector. Se abordan tanto en el caso de los métodos de un paso como de pasos múltiples los problemas de convergencia, estabilidad y consistencia. Se analiza también, en ambas familias de métodos, el problema del control de paso, lo cual será de gran interés en la explotación práctica de dichos métodos. Se extienden a continuación algunos de los métodos anteriores al caso de sistemas. Finalmente se hacen algunas consideraciones sobre las ecuaciones diferenciales ordinarias mal condicionadas.
      En este tema también estudiaremos casos elementales de problemas de contorno, es decir, ecuaciones diferenciales con condiciones en la frontera del dominio, y su resolución mediante las técnicas vistas, lo que introduce los métodos de tiro, diferencias finitas y elementos finitos.
      También se estudian los métodos numéricos de cálculo de valores propios. Se comienza el estudio con los métodos que obtienen los valores propios a través del polinomio característico de la matriz, mostrando su escaso interés práctico. Puesto que no siempre es necesario determinar todos los valores propios de una matriz, a veces es suficiente conocer su radio espectral o el autovalor más próximo a un valor dado, se abordan a continuación los métodos que obtienen un sólo valor propio. Se consideran seguidamente los métodos basados en las transformaciones matriciales de semejanza, primeramente para el caso de matrices simétricas, que reducen la matriz inicial a otra diagonal o tridiagonal, a las que se pueden aplicar métodos más efectivos para determinar sus autovalores. Por último se considera el caso de matrices no simétricas.

      En el tema VII, veremos las ecuaciones en derivadas parciales, de gran importancia práctica al aparecer en la descripción de muchos procesos físicos (ecuación de ondas en acústica, ecuaciones de difusión en térmica, ecuaciones de continuidad en fluidos, ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo, etcétera). Las soluciones de estas ecuaciones, describen posibles reacciones físicas que tienen que determinarse mediante condiciones de contorno que pueden ser de distintos tipos .
      Se comienza el tema con una lección previa donde se repasan las nociones generales sobre la teoría general de ecuaciones en derivadas parciales. Se clasifican las ecuaciones lineales de segundo orden y se recuerda el método de separación de variables para resolver problemas sencillos, tales como la ecuación de Laplace en dimensión dos, o la ecuación del calor y la ecuación de ondas en dimensión uno. Se estudia el método de diferencias finitas tanto para problemas estacionarios como de evolución, analizando las propiedades de consistencia, estabilidad y convergencia de los diferentes esquemas.
      A continuación se introduce la formulación variacional de un problema lineal de tipo elíptico, particularizando todos los conceptos introducidos al caso de una ecuación de Laplace o Poisson. Se estudia el método de Ritz para aproximar la solución del problema, partiendo de la formulación variacional anteriormente obtenida. Tras generalizar el concepto de formulación variacional anterior al caso de que no exista un funcional asociado al problema diferencial, se introduce el método de Galerkin como método de aproximar la solución del problema variacional. Ello permite presentar el método de elementos finitos como modo sistemático de generar los espacios de aproximación. Se muestran en detalle ejemplos de aproximación mediante elementos finitos de problemas elípticos en dimensión uno y dos. Se considera a continuación el problema de cálculo de autovalores de un problema diferencial de tipo elíptico. Se introduce la formulación variacional de dicho problema y se aplica el método de elementos finitos para efectuar la aproximación, obteniendo a continuación el conjunto discreto de autovalores. Por último se considera la resolución mediante elementos finitos de problemas lineales de tipo parabólico e hiperbólico, estudiando en todos los casos la consistencia, estabilidad y convergencia de los problemas que se obtienen de la discretización en las variables espaciales y temporales.

      MATEMÁTICAS E INGENIERÏA
      Para el ingeniero, las matemáticas no son solamente, durante su periodo de formación, un excelente e indispensable ejercicio intelectual que contribuye a darle el gusto por el rigor en los razonamientos, sino que deben permitirle también comprender y seguir los progresos de las ciencias físicas, cuyo instrumental matemático se desarrolla cada día más. El ingeniero, suponiendo que sus problemas estén formulados correctamente, pretende ante todo es obtener soluciones numéricas a los mísmos. Ahora bien, por lo general éstas sólo pueden obtenerse por métodos de aproximación. El proceso de estudio de cualquier fenómeno de las ciencias experimentales, que es al fin la tarea a que debe consagrarse el técnico , consta de los siguientes pasos:
      1. Aproximación al fenómeno o problema real, mediante un proceso de acumulación, presentación y tratamiento de los datos obtenidos de la observación empírica. En esta fase los recursos estadísticos, desde las técnicas descriptivas hasta los métodos de diseño de experimentos, son la herramienta fundamental.
      2. Descomposición del fenómeno en partes más simples y análisis de cada una de las partes, tratando de establecer relaciones entre las magnitudes que afectan al fenómeno.
      3. Síntesis de los resultados parciales y elaboración de un modelo integrador o modelo empírico.
      4. Obtención, por un proceso de abstracción o conceptualización, de un modelo matemático del fenómeno real, o representación matemática simplificada de las relaciones que existen en la realidad. Utilización de los conocimientos disponibles para tratar dicho modelo, simplificándolo si no es posible manipularlo en toda su complejidad.
      5. Aplicación a la práctica de la teoría construida mediante un proceso de desconceptualización, que consiste en traducir los resultados logrados a la realidad concreta de partida. En esta etapa es donde se realiza la validación del modelo, esto es, contraste del modelo con la realidad de partida y estimación del grado de concordancia para aceptarlo o rechazarlo.
      6. Selección entre las diversas soluciones compatibles con el modelo, valoradas previamente según diferentes criterios: económico, de factibilidad técnica, humana, etcétera, y descripción de la misma de manera ordenada y realista, de tal forma que sea efectivamente realizable.

      En todas las etapas de esta tarea se requieren unas aptitudes fundamentales en ingeniería: orden, capacidad de análisis y síntesis, abstracción, rigor en el razonamiento, capacidad de deducción, capacidad de plantear hipótesis, rigor en rebatirlas, seguridad en el proceso, en suma, destreza en el método hipotético deductivo. Es pues de destacar el valor formativo de las Matemáticas frente a una concepción puramente utilitaria, pero no debe olvidarse que en una carrera técnica no se puede plantear como una asignatura de lógica y formación mental abstracta. Debe cumplirse un segundo objetivo, el instrumental, desde tres puntos de vista:

      1. Como instrumento para la construcción de las teorías de otras disciplinas, en particular las de carácter físico.
      2. Como herramienta de medición y cálculo en la práctica profesional.
      3. Como recurso esencial en el modelado al que antes se ha hecho referencia, actividad ligada a la investigación y el desarrollo tecnológico
      ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

      La metodología de la asignatura viene definida en la página de Información General, por lo que aquí se incidirá en cómo abordarla. Como planteamiento general, la asignatura se centra en los pasos 4 y 5 del estudio de un modelo experimental, esto es, a partir de un modelo matemático, seleccionar el o los métodos mas idóneos para su resolución y razonar de forma crítica sobre los resultados obtenidos, analizando su validez en función del fenómeno de partida.


      Última modificación: 9 Septiembre, 2010